📐 MMLU 的评估协议

MMLU 格式：57 个学科的多选题（4 选 1），few-shot 评估。

标准评估方式（log-likelihood scoring）：

$\hat{y} = \arg\max_{c \in \{A,B,C,D\}} P_\theta(c \mid \text{prompt} \oplus \text{question})$

不是让模型生成文本，而是比较四个选项 token 的对数概率。

MMLU 准确率：

$\text{Acc} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbb{1}[\hat{y}_i = y_i^*]$

MMLU-Pro 的改进：

• 10 个选项（vs MMLU 的 4 个）→ 随机猜测准确率从 25% 降到 10%
• 更多推理题，更少知识检索题
• Chain-of-Thought 提升显著（+15%），说明题目确实需要推理

GPQA 的”Google-proof”设计：

非专家花 30 分钟搜索后仍只有 34% 准确率，专家在本领域达 65%。这确保了：（1）答案不在互联网上直接可搜到 （2）需要真正的专业知识。

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📐 SQuAD 的 Span-based 评估指标

SQuAD 任务：给定段落 $P$ 和问题 $Q$，预测答案 span $[s, e]$（起始和结束位置）。

Exact Match (EM)：

$\text{EM} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbb{1}[\text{pred}_i = \text{gold}_i]$

预测 span 与标注完全一致才算正确（归一化后比较：去标点、小写化）。

Token-level F1：

$P = \frac{|\text{pred tokens} \cap \text{gold tokens}|}{|\text{pred tokens}|}, \quad R = \frac{|\text{pred tokens} \cap \text{gold tokens}|}{|\text{gold tokens}|}$

$F_1 = \frac{2PR}{P + R}$

允许部分匹配——比 EM 更宽容。

对抗攻击（Jia & Liang 2017）的揭示：

在段落末尾插入一句与问题词汇高度重叠但语义无关的干扰句：

• 原问题：“What city did the Super Bowl take place in?” → 模型正确回答：“Santa Clara”
• 加干扰句：“Jeff Dean played in the Super Bowl in Houston.” → 模型错误回答：“Houston”

模型依赖词汇重叠而非真正理解，EM 从 75% 暴跌到 36%。

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📐 核心评估指标公式

BLEU（机器翻译）：

$\text{BLEU} = \text{BP} \cdot \exp\!\left(\sum_{n=1}^{4} \frac{1}{4} \log p_n\right)$

其中 $p_n$ 是修剪后的 n-gram 精确率，BP 是简短惩罚：

$\text{BP} = \begin{cases} 1 & \text{if } c > r \\ e^{1-r/c} & \text{if } c \le r \end{cases}$

$c$ = 候选长度，$r$ = 参考长度。BLEU 只看精确率（不看召回率），BP 补偿过短的翻译。

ROUGE-L（摘要/生成）：

$R_L = \frac{\text{LCS}(X, Y)}{|X|}, \quad P_L = \frac{\text{LCS}(X, Y)}{|Y|}, \quad F_L = \frac{(1+\beta^2) R_L P_L}{R_L + \beta^2 P_L}$

LCS = 最长公共子序列。ROUGE-L 同时考虑精确率和召回率，且不要求匹配的词连续。

BERTScore（语义级评估）：

$R_{\text{BERT}} = \frac{1}{|x|}\sum_{x_i \in x} \max_{y_j \in y} \mathbf{x}_i^T \mathbf{y}_j$

$P_{\text{BERT}} = \frac{1}{|y|}\sum_{y_j \in y} \max_{x_i \in x} \mathbf{x}_i^T \mathbf{y}_j$

其中 $\mathbf{x}_i, \mathbf{y}_j$ 是 BERT 上下文化 embedding。每个 token 贪心匹配语义最近的对应 token，不要求位置对齐。

LLM-as-Judge 的 Bradley-Terry 模型（Chatbot Arena）：

$P(A \succ B) = \frac{e^{\beta_A}}{e^{\beta_A} + e^{\beta_B}}$

从人类偏好投票中用 MLE 估计每个模型的强度参数 $\beta$，产生 Elo-like 排名。

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