Gram-Schmidt 正交化

分类: 基础理论

Gram-Schmidt 正交化

定义

将一组线性无关向量转化为一组正交（或正交归一化）向量的经典算法

数学形式

ek=vk−∑j=1k−1⟨vk,ej⟩⟨ej,ej⟩ej\mathbf{e}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{e}_j \rangle}{\langle \mathbf{e}_j, \mathbf{e}_j \rangle} \mathbf{e}_j

核心要点

逐步从每个新向量中减去其在已有正交基上的投影分量

可增量计算：每加入一个新向量，只需计算其与现有基的投影

时间复杂度 O(nk2)O(nk^2)（nn 为维度，kk 为向量个数）

数值稳定版本：Modified Gram-Schmidt

代表工作

ResPrune: 使用 Gram-Schmidt 正交化实现增量子空间扩展，每步高效更新残差能量

相关概念

正交投影

残差能量

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